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METODO DE DETERMINANTES Ó MATRICES

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Determinantes.

MacLaurin, en su "Treatise of Algebra", publicado en 1748, daba una regla para resolver sistemas de ecuaciones lineales por determinantes. La solución que daba para y, en el sistema :

Dada la matriz de coeficientes del sistema:

Llamamos determinante de C a:

El numerador de la solución para y, es el determinante de la matriz que resulta de sustituir en la matriz de coeficientes, la columna correspondiente a la incógnita y por la columna de términos independientes.

La solución para x y para y, por determinentes sería:

En el caso de una sola ecuación con una sola incógnita, tenemos:

En el caso de tres ecuaciones con tres incógnitas, tenemos:

Y las soluciones por determinantes serán:

¿Cómo se calcula cada uno de estos determinantes?

En el caso de determinantes de una fila por una columna, el determinante es igual al número con su signo.

En el caso de determinantes de dos filas por dos columnas, ya lo hemos visto: es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

En el caso de tres filas por tres columnas:

Propiedades de los determinantes.

1º El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta :

2º Si los elementos de una fila (columna) de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número.

3º si los elementos de una fila (columna) de una matriz se pueden descomponer en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las filas (columnas) excepto dicha fila (columna) cuyos sumandos pasan, respectivamente, a cada uno de los determinantes:

4º El determinante de un producto de dos matrices cuadradas coincide con el producto de los determinantes de ambas matrices:

5º Si en una matriz cuadrada se permutan dos filas(columnas), su determinante cambia de signo.

6º Si los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada son combinación lineal de las filas (columnas) restantes, es decir son el resultado de sumar los elementos de otras filas (columnas) multiplicadas por números reales, su determinante es cero.

7º Si a los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de otras filas (columnas), su determinante no varía.

Menor complementario de un elemento

El menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada es el determinante de la matriz que obtenemos al suprimir su fila y su columna. Lo representamos por Mij.

Ejemplo: Hallar el menor complementario del elemento a23 en la matriz :

Adjunto de un elemento

Es el menor complemantario con signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de su número de fila y su número de columna. Lo representamos por Aij

Desarrollo de un determianante por los elementos de una linea.

El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de una linea (fila o columna) por sus adjuntos.

Esta propiedad nos permite resolver determinantes de cualquier orden, puesto que al desarrollar por una linea, los determinantes que tenemos que calcular son de orden menor en una unidad y así, siempre podremos llegar a un determinante de orden 3, que ya sabemos calcular.

Para desarrollar por una linea es importante elegir la que más ceros tenga y utilizando la propiedad nº 7, hacer ceros todos los elementos de esa linea menos uno.

Ejemplo:

lo más cómodo es desarrollar por la 3ª columna, haciendo en ella todos los elementos cero, menos el segundo. Es importante recordar aqui, que si multiplicamos la linea a la que sumamos la combinación lineal de las demás por un número real, el determinante queda multiplicado por ese número.

Para hacer ceros, procedemos así:

El determinante de tres por tres que queda, sabemos como desarrollarlo. Se puede comprobar como haciendo ceros los elementos de una linea, sólo tenemos que calcular un determinante de tres por tres, los demás desaparecen al estar multiplicados por cero.

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